Propriétés algébriques

Propriété

Soit $f$  une fonction continue sur un intervalle $I$ . Soit $a$ et $b$ deux réels de  $I$ . Alors on a :

• ${\displaystyle {\int }_a^{a}f(x)\text{d}x=0}$
  
• ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x={\displaystyle -{\int }_b^{a}f(x)\text{d}x}}$ . 
  

Démonstration

Soit $f$  une fonction continue sur un intervalle $I$ . Soit $a$ et $b$ deux réels de  $I$ .

Soit $F$ une primitive de $f$ sur $[a;b]$ . Alors :

• ${\displaystyle {\int }_a^{a}f(x)\text{d}x=F(a)-F(a)=0}$
  
• ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))={\displaystyle -{\int }_b^{a}f(x)\text{d}x}}$ .
  

Propriété Linéarité

Soit $f$  une fonction continue sur un intervalle $I$ . Soit $a$ et $b$ deux réels de  $I$ . Alors, on a :

• ${\displaystyle {\int }_a^b(f(x)+g(x))\text{d}x={\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x+{\displaystyle {\int }_a^{b}g(x)\text{d}x}}}$
  
• pour tout réel $k$ , ${\displaystyle {\int }_a^{b}kf(x)\text{d}x=k{\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)\text{d}x}}$
  

Remarque  

Cette propriété fait écho à celle des primitives : compatibilité avec la somme et la multiplication par un réel.